¿Qué es la OMM?

Seguramente no faltará quién, al leer el título, se pregunte qué son las Olimpiadas de Matemáticas.

El presente artículo explica brevemente en qué consisten, pero la intención del autor no es solamente hablar de esto, también quiero aprovechar el espacio para reflexionar sobre algunas de las diversas razones y motivaciones que dan lugar a los concursos de matemáticas y, con ello, arribar a la caracterización del tipo de pruebas que se aplican en las Olimpiadas de Matemáticas.

Todos los profesores de matemáticas de bachillerato tenemos el mismo tipo de problemas para impartir la asignatura, sin importar el nivel cultural o económico de las familias a las que pertenecen nuestros alumnos: La gran mayoría de los estudiantes aborrece la materia y tiene serias deficiencias en su preparación anterior.

Ante esta realidad, nuestra reflexión nos lleva a tratar de resolver los siguientes problemas:

• Lograr que los alumnos gusten del estudio de la asignatura, o al menos que ya no les disguste.
• Subsanar las deficiencias que traen los estudiantes, para poder abordar satisfactoriamente la materia.
• Desarrollar las habilidades matemáticas que poseen los alumnos y simultáneamente cubrir los objetivos del curso. Dichos objetivos rara vez mencionan a las habilidades, reduciéndose a la adquisición de conocimientos y manipulación de fórmulas para aplicaciones en problemas sencillos.
• Generar una atmósfera propicia para el estudio de las matemáticas. Obviamente esto trasciende al aula, e incluso debería abarcar al medio donde se desenvuelven los muchachos.
• Impulsar a los estudiantes que tienen habilidades matemáticas e interés por aprender más profundamente esta ciencia.
• Cuando intentamos dar solución a los problemas anteriores, nos damos cuenta de que la tarea no es de un sólo individuo, ni siquiera las soluciones están restringidas al ámbito escolar.
• Así, con el ánimo de crear una atmósfera propicia para el estudio de las matemáticas e impulsar a los estudiantes capaces, se puede optar por la realización de concursos. En este artículo sólo abordaré la parte de los concursos, dejando para mejor ocasión otros aspectos que me son muy caros.
• Los concursos requieren de invertir tiempo para su organización y la obtención de medios materiales para llevarse a cabo. Por otra parte, estos eventos pueden circunscribirse a los contenidos de las asignaturas, con lo que su utilidad se revierte inmediatamente en el aula; aunque por lo general no muestra al alumnado que la matemática es una ciencia viva, tampoco, por este medio, se incremento el gusto por ella. Sabemos que la matemática emplea varios métodos, pero es difícil que los estudiantes puedan percatarse de ello, mucho menos asimilarlos, debido a la forma en que están estructurados los planes de estudio; y por ende poco de ello van a adquirir mientras se preparan para un concurso así.
• Lo anterior no significa que los concursos que tienen como eje principal a los contenidos de las asignaturas sean malos. Por el contrario, tienen muchas ventajas. No obstante debemos dimensionarlos adecuadamente, y no creer que con ellos vamos a lograr que los alumnos capaces profundicen en las matemáticas.
• Un concurso, bien organizado y convenientemente difundido debe crear expectación, pero sobre todo debe propiciar que tanto los concursantes como quienes lo rodean, así como todos aquellos a quienes llega la propaganda del evento, se interesen por conocer aún más de asunto y que reflexionen sobre la importancia de él. Incluso, de ser posible, que los espectadores puedan generar opiniones sobre las cualidades de los concursantes y la manera en la que éstos sortean las dificultades. Desgraciadamente este es un punto que tiene muchas complicaciones ya que requiere de un gran aparato de comunicación, incluidos los comunicadores con suficientes conocimientos del tema para hacer accesible el asunto a todo tipo de espectadores.
• Cuando un sujeto acepta concursar, es porque ha elaborado diversas expectativas. En el caso de los concursos académicos, las motivaciones provienen, por lo general, de los profesores, de los familiares y de los amigos. Es conveniente que al concursante se le aliente lo suficiente, pero que en ningún momento este aliento debe traducirse en una presión que pueda ser asumida de una manera obsesiva al grado de no permitirle desarrollarse con suficiente libertad o que se convierta en una frustración si no se obtiene el primer lugar. Así, unas de las expectativas más sanas, y las cuales seguramente alcanzarían, pueden ser:
• Ponerse a prueba, esto significa competir con sí mismo y dar todo lo que es posible, para así llegar al lugar que a cada quien le corresponde.
• Adquirir nuevas experiencias que difícilmente podrían darse en otras situaciones. El solo hecho de participar de be ser asumido como un triunfo ¡no todos se atreven!.
• Conocer y convivir con otras personas de intereses y formación similares. Esto implica la autoafirmación en el caso de los adolescentes y, de manera más general, abrir la posibilidad de interactuar o intercambiar opiniones, incluso de participar en nuevos proyectos, con gente afín.
• Conocer a personalidades y expertos del tema, lo cual satisfará inquietudes académicas, le estimulará a profundizar los conocimientos y sabrá, “de primera mano”, sobre las novedades y motivaciones actuales en el área. El jurado y los organizadores siempre procuran comunicarse más estrechamente con los concursantes.

Desde luego que el cumplimiento de las expectativas anteriores será mayor cuando más amplia sea la participación y más extensa sea la zona geográfica que cubra el concurso.

La Olimpiada Internacional de Matemáticas, es un concurso donde participan alumnos menores de 20 años y que no estén inscritos en estudios superiores.

La primera Olimpiada Internacional de Matemáticas se organizó en 1959, en Rumania, con la participación de siete países, y desde entonces se celebra anualmente este certamen. Un país puede asistir a la Olimpiada sólo si es invitado por el país organizador, aunque es costumbre que cuando un país asiste, se le invita también para el siguiente año.

Entre los objetivos de la Olimpiada Internacional de Matemáticas se incluyen:

• Localizar y estimular a los escolares de todo el mundo que tienen facilidad para las matemáticas.
• Promover, a nivel internacional, las relaciones de amistad entre estudiantes y profesores.
• Ofrecer una oportunidad para el intercambio de información sobre prácticas y programas escolares, a escala mundial.

México participó por primera vez en 1981 (E.U.A.) obteniendo el último lugar (27 países); la segunda vez lo hizo en 1987 (Cuba), donde obtuvo el penúltimo lugar (42 países). En ese mismo año, la Sociedad Matemática Mexicana (SMM) aceptó la tarea de organizar el concurso nacional de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas y seleccionó a la delegación que nos representó en 1988 (Australia), donde se obtuvo el lugar 37 (49 países). A partir de entonces, la SMM ha continuado con la selección y preparación de la delegación mexicana, donde se han obtenido diversas preseas y menciones honoríficas.

En un contexto similar, en 1985 surge la Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas (bajo los auspicios de la Organización de los Estados Iberoamericanos para la Educación, la Ciencia y la Cultura), en la cual México participó por primera vez en 1989 (Cuba) obteniendo el tercer lugar (12 países). Asimismo, en 1991 México participó por primera vez en la Olimpiada de Matemáticas de la Cuenca del Pacífico, las cuales iniciaron en 1989.

Los procedimientos de concurso son similares en todos estos certámenes. Para seleccionar a los concursantes que asistirán a ellos, la SMM organiza la Olimpiada Mexicana de Matemáticas, la cual se lleva a cabo en tres etapas:

1. Concursos Regionales (a nivel estado), donde se seleccionan 6 alumnos por región para participar en la segunda etapa.
2. Concurso Nacional, en el que se seleccionan alrededor de 15 alumnos, los cuales habrán de participar en la siguiente etapa.
3. Entrenamiento y selección de las delegaciones a los Concursos Internacionales.

Como educadores que somos, sabemos que el propósito de estas actividades relacionadas con las Olimpiadas de Matemáticas trasciende a la simple selección y preparación de una delegación de concursantes que habrá de representarnos en los encuentros nacionales o internacionales. En efecto, no se trata solamente de preparar concursantes de “alta eficiencia” sino también de generar una atmósfera propicia para que cada vez se integren más alumnos, de manera natural, al estudio y a la aplicación de las matemáticas en todas las ramas del saber humano. Ello se habrá de lograr difundiendo ampliamente las matemáticas como una ciencia en continuo crecimiento que para su práctica requiere, además de buena información, de creatividad y de la participación activa de los estudiantes.

La Sociedad Matemática Mexicana ofrece en cada una de las entidades, a través del respectivo Comité Organizador del Concurso Estatal de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas, un taller de resolución de problemas. Este taller tiene dos objetivos muy definidos. El principal es mostrar una pauta al alumno sobre el tipo de problemas que se presentan en esta clase de concursos, las diversas formas en que pueden resolverse y, a través de éstas sesiones, comunicar la esencia de algunos de los métodos que emplea la matemática. Un segundo objetivo es mantener un lugar de encuentro para aquellos estudiantes de la entidad que tienen interés por la matemática.

Las pruebas en estos concursos no se elaboran tomando en cuenta la diferenciación de grados escolares de los concursantes. Los contenidos de aritmética, álgebra y geometría euclidiana que el alumno cursó en el nivel de secundaria son suficientes para concursar (también se incluye combinatoria), pero ello no significa que los problemas de las olimpiadas sean del tipo de los que se aplican en la secundaria. La dificultad de los problemas se incremento con la clase de los concursos, siendo los más sencillos los de los concursos estatales y los de mayor grado de dificultad los de los concursos internacionales. En ninguna de las pruebas se pregunta de manera directa al alumno por una fórmula o el enunciado de un teorema, más bien se procura ver qué tanto domina los conceptos que les atañen. Se trata de observar que el método de razonamiento sea completo y crítico, que se posea creatividad para la solución de problemas , que muestre capacidad para encontrar regularidades, que posea flexibilidad de pensamiento, etc. Es decir, se evalúan las habilidades matemáticas de los concursantes.

De esta forma, debe procurarse que los problemas propuestos para las pruebas de las olimpiadas, en sus diferentes etapas o niveles, sean situaciones nuevas para los concursantes; así estarán en igualdad de circunstancias, en cuanto a no haber resuelto problemas similares con anterioridad, lo cual facilita que se muestre la habilidad con la que el concursante articula sus conocimientos para obtener soluciones originales.

Sabemos que cualquier persona que desee sobresalir en una actividad particular, deberá tener habilidades específicas del área respectiva, pero también es necesario invertir, con disciplina, una gran cantidad de tiempo en desarrollar con suficiencia dichas habilidades, así como perfeccionarse mediante una actualización continua y ejercitación sistemática.

Los problemas que se proponen en las Olimpiadas de Matemáticas requieren de mucho ingenio, aunque también la solución completa de ellos necesita de suficiente tiempo. Sin embargo, insistimos, no es necesario mucho conocimiento matemático, y por lo general se resuelven aplicando contenidos de los programas de secundaria.

Para dar una idea del porqué bastan conocimientos básicos para resolver muchos de los problemas, damos el siguiente problema y relatamos el comportamiento usual para llegar a la solución.

“Demostrar que si N es un número natural, tal que la suma de sus dígitos es 15, entonces N no es el cuadrado de otro número natural.”

Ante este problema, la mayoría de los concursantes empezarían escribiendo los siguientes números: 96, 69, 87 y 78. Éstos, evidentemente no son cuadrados de algún natural. Posteriormente, exploran con números de tres dígitos: 951, 915, 591, 519, 195, 159, 942, 924, etc. Ninguno de éstos es cuadrado de un natural. En este momento descubren que también puede estar el cero como uno de los dígitos, por ejemplo 906 6 960, 9006, etc. Así, se percatan que hay una cantidad infinita de números naturales tales que la suma de sus dígitos es 15, por lo que deben buscar una solución general.

Pueden pasar mucho tiempo pensando en el problema. No falta quien se desanima y lo deja de lado creyendo que se necesitan contenidos matemáticos de cierta complejidad para resolverlo. Sin embargo, ¿se acuerda el lector de la “prueba” que aprendió en la primaria para la multiplicación? ¡Éste es el único contenido que se necesita! Si ya sabe cómo hacerla sáltese los siguientes cuatro párrafos.

La “prueba” -así, entre comillas- hace uso de la forma reducida de un número, de acuerdo con sus dígitos. La forma reducida de un número natural se obtiene sumando los dígitos de éste; si el resultado de dicha suma es un número con más de un dígito, éste resultado vuelve a reducirse. El proceso se hace tantas veces como sea necesario hasta que se obtenga sólo un dígito. Ejemplo: si se tiene el número 40789, la suma de sus dígitos es 28. Como este resultado tiene dos dígitos es necesario aplicar otra vez el procedimiento: la suma es 10; se aplica otra vez y se obtiene la forma reducida a un dígito: 1. Bien, la mencionada “prueba” nos dice que, en una multiplicación 4 la forma reducida del producto debe ser igual a la forma reducida del producto de las formas reducidas de los factores.

Así, en el producto 2478×605 = 1499190, los factores tienen como formas reducidas a 3 y 2 respectivamente y el producto de éstas es 6. A su vez, la forma reducida de 1499190 es 6 también. Debido a esta coincidencia decimos (nos enseñaron a decir) que la multiplicación está bien hecha.

De esta manera, ¿qué diría usted cuando un alumno le entregara el siguiente resultado?

2478×605 = 1498290

y si, además, le dice “ya lo comprobé, como usted me enseñó”.

Ésta es la razón por la que puse entre comillas a la palabra “prueba”. En realidad, funciona como prueba, sin comillas, cuando se trata de demostrar que la multiplicación está mal, pero sólo en los casos en que la forma reducida del resultado erróneo no coincida con la del resultado verdadero.

De acuerdo a lo anterior, si acaso existe un número natural n tal que n² = N, entonces la forma reducida de n debe ser tal que al multiplicarla por sí misma y reducirla, se debe obtener 6, pues la suma de los dígitos de N es 15, con forma reducida igual a 6.

Así, basta examinar la siguiente tabla para darse cuenta de que no puede existir un número natural n tal que n² = N.

1 1
2 4
3 9
4 7
5 7
8 1
9 9

Como puede observar el lector, esta demostración requirió de un contenido forma reducida de n de n’

Aunque podemos enseñar (y de hecho se enseña) lógica a los alumnos, el razonamiento lógico es una habilidad. La inmensa mayoría de las personas utilizan correctamente algunos tipos de deducción, pero no otros, que son más complicados. De esta manera las habilidades se poseen o no, pero sólo pueden desarrollarlas quienes las tienen. Por ello, no debe extrañarnos que casi todos nuestros alumnos puedan seguir al profesor cuando éste les muestra un razonamiento lógico-deductivo, sin embargo, pocos son los que pueden realizar una demostración.

Se han hecho muchos intentos, tanto en lógica como en geometría, para enseñar al alumno a manejar correctamente la deducción, incluso hay un libro cuyo título promete mucho. Las evaluaciones de dichos métodos han mostrado que son útiles sólo para desarrollar las habilidades en aquellos que las poseen, pero ningún resultado positivo para quienes no las tengan. Al respecto, el profesor Gonzalo Zubieta R., autor de libros sobre lógica matemática y que ha dedicado varios años al asunto de la enseñanza de esta rama, indica:

“La manera usual para enseñar al alumno cómo hacer demostraciones en matemáticas es similar a mostrarle cómo un gimnasta hace un triple salto mortal. Le mostramos al gimnasta ejecutándolo y luego le pedimos al alumno que realice el triple salto mortal … si acaso sobrevive, seguramente no volverá a intentarlo.

No obstante, el alumno sí puede platicar lo que vio realizar al gimnasta, y de la misma forma puede reproducir una demostración.”

En este sentido, si en una prueba se le solicita al alumno la demostración de un teorema muy conocido, no podremos discernir fácilmente cuándo la ha elaborado y cuándo la ha reproducido. Por ello, en las pruebas de las olimpiadas matemáticas, se procura que los problemas sean nuevos para el alumno.

Otra habilidad matemática es la que tiene que ver con la manera en la que se organiza la información. Va un ejemplo que ésta relacionado con la Geometría Elemental:

“Considera siete puntos cualesquiera dentro de un hexágono regular y prueba que tres de ellos forman un triángulo cuya área es menor o igual que 1/6 del área del hexágono”.

En este caso, el alumno deberá invertir tiempo en realizar un análisis exhaustivo de las distintas posibilidades, pero primero deberá ubicar la mejor forma de clasificar a éstas.

Como el lector sabe, la forma de resolver un problema no es única. Decimos que una solución es “bella” cuando ésta presenta una sencillez extrema, pero también incluye una gran dosis de ingenio para encontrar los argumentos más simples. En los concursos, las formas de solución que muestran los participantes no son muy variadas, incluso los métodos de solución que emplean son bastante tradicionales. No obstante, es posible encontrar algunas soluciones de gran belleza y originalidad; esto es más frecuente cuando es mayor el nivel del concurso (regional, nacional, internacional).

Este tipo de soluciones, bellas y originales, siempre han sorprendido al jurado y por lo general sus miembros, ante ellas, quedan complacidos por haber aprendido de los concursantes. En la 6ta. Olimpiada Mexicana de Matemáticas, la mejor solución recayó sobre una concursante de Aguascalientes (Gabriela Román Loera), quien recibió una felicitación expresa por parte del jurado.

Como ya se ha indicado, la primera Olimpiada Mexicana de Matemáticas se llevó a cabo en 1987. Por su parte, la Sociedad Mexicana de Física (SMF) inicia en 1989 con la primera Olimpiada Mexicana de Física. En 1991, la Academia de la Investigación Científica (AIC) invita a la SMM, a la SMF y a otras asociaciones científicas para organizar de manera conjunta las Olimpiadas Mexicanas de la Ciencia. El proyecto queda inscrito en otro más amplio que tiene un objetivo mayor: atraer a los jóvenes que tengan inquietudes científicas para que estudien carreras y posgrados en el área científica.

De esta manera, se articulan muchas otras actividades que se venían desarrollando en varias universidades, destacando, además de las olimpiadas, la Semana de la Ciencia y el Verano Científico, los cuales han comenzado a revertir el problema de la falta de científicos en el país.

El año pasado, el titular del Poder Ejecutivo Federal anunció la ampliación de este programa incluyendo las Olimpiadas del Conocimiento, las cuales abarcarán los niveles de primaria, secundaria, bachillerato y actividades tecnológicas.

Es de reconocer que la labor de la AIC ha sido fructífera porque se ha facilitado la asignación de los recursos y optimización para estos proyectos. También ha permitido que cada vez más de los profesores integrados a estos proyectos dispongan de apoyos académicos variados (becas para cursos, asistencia a congresos, coloquios, etc.).

Con motivo de las Olimpiadas de Matemáticas, algunos centros educativos del país han instrumentado proyectos de apoyo a la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Entre estos cabe destacar a los clubes de matemáticas en el CCH de la UNAM, donde el apoyo material lo proporciona la institución, así como el pago de horas para algunos de los profesores que trabajan en estos clubes, pero gran parte del trabajo lo realizan los alumnos.

La matemática, poco a poco se está convirtiendo en una disciplina más accesible para los alumnos, ya que se están instrumentando métodos de enseñanza y apoyos más eficaces, además de que el uso de la computadora se está difundiendo en todos los niveles educativos. Los alumnos de ahora se van desprendiendo de muchos prejuicios que, contra las matemáticas, tenían sus padres. Debemos continuar en la misma dirección.

Como un último comentario respecto a las pruebas de la Olimpiadas de Matemáticas, señalaré que los triunfadores de estos concursos casi siempre son estudiantes de calificaciones altas. Sin embargo, se han dado casos de alumnos que, por su propia cuenta se inscribieron en el Concurso Estatal, resultaron triunfadores aunque y sus calificaciones escolares de matemáticas no eran altas, e incluso sus profesores no creían en ellos. Lo mismo sucede en el caso contrario: alumnos con muy altas calificaciones en matemáticas que obtuvieron puntuación muy baja en el Concurso Estatal.